벡터의 길이(Lengths)
벡터의 길이는 Norm으로 정의합니다.. 내적과 Norm은 연관되어 있고, 내적은 Norm을 유도할 수 있습니다. 아래 식처럼요.
하지만 모든 Norm이 내적에 의해 유도되는 것은 아닙니다. Manhatan Norm의 경우 내적으로 유도할 수 없는 Norm입니다. 아래 식은 Manhatan Norm(L1 Norm)입니다.
내적은 조건에만 맞으면 다양하게 정의할 수 있습니다. 우리가 많이사용하는 dot product라는 내적만 있는 것이 아닙니다.
벡터 x = [1, 1]일때, 내적으로 dot product를 채택해 길이를 얻으면
루트 2가 됩니다.
하지만 내적을 아래식처럼 정의해서 길이를 구해봅시다.
이런 내적을 채택한다면 x의 Length는 1이 됩니다.
두 벡터의 거리(Distances)
두 벡터 사이 거리는 아래와 같이 정의됩니다.
여기서도 내적을 어떤 내적으로 정의하느냐에 따라 거리는 달라집니다. 내적을 dot product로 채택하면 Distance를 유클리드 거리라고 부릅니다.
벡터사이의 거리를 구할때, 내적이 필수적이진 않습니다. Norm으로 충분히 구할 수 있습니다. 두 벡터를 빼서나온 벡터의 Norm을 구해주면 됩니다.
Metric
위와 같은 mapping을 metric 이라고 부릅니다. distance라고도 하죠. 머신러닝의 성능지표를 metric이라고도 하는데 여기서 나오는 용어입니다.
metric d는 3가지를 만족합니다.
metric과 Inner product는 어떻게 다를까?
위 3가지 metric의 속성은 내적의 속성과 매우 유사해보입니다. 하지만 내적과 metric은 반대의 성격을 가집니.
예를들어 두 벡터가 매우 가깝고 유사하다고 하면 내적은 값이 커지지만 metric은 값이 작아지게 됩니다.
